Μεταφορική
Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο οποιαδήποτε σημεία του στερεού παραμένει παράλληλο προς τον εαυτό του.
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ · ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 · 18 ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΩΡΕΣ
Μηχανική Στερεού Σώματοςη δύναμη έχει και σημείο εφαρμογής.
Από την κίνηση ενός στερεού μέχρι τη ροπή, την ισορροπία και τη στροφορμή. Τα σχήματα είναι σχεδιασμένα στην ίδια τεχνική λογική με τις λύσεις του PDF Πανελλαδικών: ράβδοι, άρθρωση, νήματα, δίσκοι και τροχαλίες με καθαρές σημάνσεις.
ΕΠΙΣΗΜΗ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ 2027
Μόνο ό,τι πραγματικά ανήκει στην ύλη
Η σελίδα ακολουθεί την απόφαση του Υπουργείου για τις Πανελλαδικές 2027 και όχι ολόκληρο το κεφάλαιο του σχολικού βιβλίου.
Περιλαμβάνονται:
- 4.1 Εισαγωγή.
- 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων.
- 4.3 Ροπή δύναμης.
- 4.4 Ισορροπία στερεού σώματος.
- 4.7 Στροφορμή, εκτός από τη 4.7Β και την απόδειξη/λεκτική διατύπωση της σχέσης 4.18 που αφορά στερεό.
- 4.8 Διατήρηση της στροφορμής μόνο μέχρι τη διατύπωση της αρχής.
Άρα δεν χτίζουμε το μάθημα γύρω από: ροπή αδράνειας, θεμελιώδη νόμο στροφικής κίνησης, κινητική ενέργεια περιστροφής ή στροφορμή στερεού σώματος.
4.2 · ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ
Πρώτα αναγνωρίζω την κίνηση
Στροφική
Κάθε σημείο του στερεού κινείται σε κύκλο γύρω από σταθερό άξονα.
Σύνθετη
Η γενική κίνηση μπορεί να αναλυθεί σε μεταφορά του Κ.Μ. και περιστροφή γύρω από το Κ.Μ.
Στερεά σώματα — όχι σημείαΣΥΓΚΡΙΤΙΚΟ
Η σχεδιαστική λογική ακολουθεί τα σχήματα των θεμάτων: πραγματικά στερεά, καθαροί άξονες και διανύσματα έξω από τα σώματα όπου χρειάζεται.
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΩΝ
Δες τις κινήσεις του στερεού να ζωντανεύουν
Ξεκίνα από την αναγνώριση της κίνησης. Οι παρακάτω προσομοιώσεις μπαίνουν ακριβώς εδώ, γιατί βοηθούν να περάσεις από τον ορισμό στην οπτική κατανόηση.
Από το σημείο στο στερεό: κυκλική κίνηση
Παρατήρησε ένα υλικό σημείο σε κυκλική κίνηση και μεταβολές της ακτίνας, της περιόδου και της ταχύτητας. Σύνδεσε την εικόνα με το γεγονός ότι, στην καθαρή περιστροφή στερεού, κάθε σημείο κινείται σε κύκλο γύρω από τον ίδιο άξονα.
Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗
Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.
Η φόρτωση γίνεται μέσα στη σελίδα και μπορείς πάντα να την ανοίξεις και σε νέα καρτέλα.
Εφαρμογή
Δύο σημεία στο ίδιο στερεό έχουν ίδια ω;
- Διάλεξε δύο διαφορετικές ακτίνες, μία μικρότερη και μία μεγαλύτερη.
- Κράτησε σταθερή τη γωνιακή ταχύτητα ή την περίοδο και παρατήρησε τις γραμμικές ταχύτητες.
- Συμπλήρωσε την πρόταση: τα δύο σημεία έχουν ίδια ____ αλλά διαφορετική ____.
Ποιο σημείο έχει μεγαλύτερο μέτρο γραμμικής ταχύτητας και γιατί;
Έλεγχος συμπεράσματος
Σε στερεό που στρέφεται όλα τα σημεία έχουν ίδια γωνιακή ταχύτητα ω, αλλά υ = ωr. Άρα το σημείο που βρίσκεται πιο μακριά από τον άξονα έχει μεγαλύτερη γραμμική ταχύτητα.
Μετατόπιση τροχού: η κύλιση αναλύεται σε δύο κινήσεις
Η προσομοίωση δείχνει έναν τροχό που κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο. Με την επιλογή «Ανάλυση κίνησης» η ίδια μετατόπιση παρουσιάζεται πρώτα ως μεταφορά του τροχού και έπειτα ως περιστροφή γύρω από το κέντρο Κ, ώστε να γίνει ορατή η σύνθετη φύση της κύλισης.
Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗
Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.
Η φόρτωση γίνεται μέσα στη σελίδα και μπορείς πάντα να την ανοίξεις και σε νέα καρτέλα.
Εφαρμογή
Ανάλυσε την κύλιση σε μεταφορά και περιστροφή
- Επίλεξε «Ανάλυση κίνησης» και ξεκίνησε από μια συγκεκριμένη μετατόπιση του τροχού.
- Παρατήρησε ότι για το ίδιο χρονικό διάστημα η κίνηση παρουσιάζεται πρώτα ως μεταφορά ολόκληρου του τροχού και στη συνέχεια ως περιστροφή γύρω από το κέντρο Κ.
- Διάλεξε ένα σημείο της περιφέρειας και παρακολούθησε πού καταλήγει μετά τα δύο διαδοχικά στάδια. Σύγκρινε την τελική θέση με αυτήν της κανονικής κύλισης.
- Διατύπωσε με δικά σου λόγια γιατί η κύλιση χαρακτηρίζεται σύνθετη κίνηση.
Κρίσιμη ερώτηση: γιατί μπορούμε να μελετήσουμε την κύλιση ως μεταφορά του κέντρου μάζας και περιστροφή γύρω από αυτό;
Έλεγχος συμπεράσματος
Η κύλιση είναι σύνθετη κίνηση. Στο ίδιο χρονικό διάστημα μπορεί να αναλυθεί σε μεταφορά του κέντρου Κ και σε περιστροφή του τροχού γύρω από το Κ. Η σύνθεση των δύο κινήσεων δίνει ακριβώς την πραγματική μετατόπιση κάθε σημείου του τροχού.
Το στερεό στον χώρο
Παρατήρησε ένα στερεό να μεταφέρεται, να περιστρέφεται ή να εκτελεί σύνθετη κίνηση στον χώρο. Εστίασε στην κίνηση δύο διαφορετικών σημείων του σώματος και στο πώς αλλάζει ο προσανατολισμός του.
Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗
Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.
Η φόρτωση γίνεται μέσα στη σελίδα και μπορείς πάντα να την ανοίξεις και σε νέα καρτέλα.
Εφαρμογή
Ποια μορφή κίνησης παρατηρείς κάθε φορά;
- Ρύθμισε μία περίπτωση καθαρής μεταφοράς, μία καθαρής περιστροφής και μία σύνθετης κίνησης.
- Για κάθε περίπτωση παρατήρησε δύο σημεία του σώματος.
- Κατέγραψε σε ποια περίπτωση το τμήμα που ενώνει τα δύο σημεία μένει παράλληλο προς τον εαυτό του.
Ποιο χαρακτηριστικό ξεχωρίζει αμέσως τη μεταφορική κίνηση από τη στροφική;
Έλεγχος συμπεράσματος
Στη μεταφορική κίνηση το τμήμα που ενώνει δύο οποιαδήποτε σημεία του στερεού παραμένει παράλληλο προς τον εαυτό του. Στη στροφική αυτό δεν ισχύει, ενώ στη σύνθετη κίνηση συνυπάρχουν μεταφορά του Κ.Μ. και περιστροφή γύρω από αυτό.
Σύνθετη κίνηση = μεταφορά Κ.Μ. + περιστροφή
Παρατήρησε ταυτόχρονα την κίνηση του κέντρου μάζας και την περιστροφή γύρω από αυτό. Η γενική κίνηση του στερεού αναλύεται έτσι σε μεταφορά του κέντρου μάζας και περιστροφή γύρω από το κέντρο μάζας.
Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗
Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.
Η φόρτωση γίνεται μέσα στη σελίδα και μπορείς πάντα να την ανοίξεις και σε νέα καρτέλα.
Εφαρμογή
Βρες το κομμάτι της μεταφοράς και το κομμάτι της περιστροφής
- Παρατήρησε την τροχιά του κέντρου μάζας και ενός δεύτερου σημείου του στερεού.
- Περιέγραψε ποιο μέρος της κίνησης είναι κοινό για όλα τα σημεία και ποιο όχι.
- Σύγκρινε ποιοτικά την ταχύτητα του σημείου με την ταχύτητα του κέντρου μάζας.
Από πού «προκύπτει» η τελική κίνηση ενός σημείου του στερεού;
Έλεγχος συμπεράσματος
Η κίνηση κάθε σημείου στη σύνθετη κίνηση προκύπτει από τη μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας και από την περιστροφή του σημείου γύρω από το κέντρο μάζας. Γι’ αυτό δύο σημεία του ίδιου στερεού δεν έχουν γενικά την ίδια γραμμική ταχύτητα.
Τι σημαίνει πραγματικά «στερεό σώμα»
Παρατήρησε δύο ή περισσότερα σημεία του σώματος κατά την κίνησή του και έλεγξε ότι οι μεταξύ τους αποστάσεις παραμένουν σταθερές. Αυτό είναι το βασικό χαρακτηριστικό του ιδανικού στερεού σώματος.
Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗
Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.
Η φόρτωση γίνεται μέσα στη σελίδα και μπορείς πάντα να την ανοίξεις και σε νέα καρτέλα.
Εφαρμογή
Ποιο μέγεθος μένει σταθερό σε ένα στερεό;
- Επίλεξε δύο σημεία του σώματος και παρακολούθησέ τα κατά την κίνηση.
- Έλεγξε αν αλλάζει το μεταξύ τους διάστημα.
- Σύνδεσε την παρατήρηση με τον ορισμό του στερεού σώματος.
Γιατί αυτή η ιδιότητα είναι τόσο σημαντική για τη θεωρία των στερεών;
Έλεγχος συμπεράσματος
Σε στερεό σώμα οι αποστάσεις μεταξύ όλων των σημείων παραμένουν σταθερές. Χάρη σε αυτή την ιδιότητα μπορούμε να περιγράφουμε την κίνησή του ως μεταφορά, περιστροφή ή σύνθεση των δύο χωρίς να μπαίνει θέμα παραμόρφωσης.
4.3 · ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ
Δεν αρκεί το F — χρειάζεται και ο μοχλοβραχίονας
Με μοχλοβραχίονα
d είναι η κάθετη απόσταση από τον άξονα στον φορέα της δύναμης.
Με r και γωνία φ
Όταν ο φορέας της F περνά από τον άξονα, η ροπή είναι μηδενική.
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΡΟΠΗΣ
Δες τι κάνει η δύναμη όταν δεν αρκεί μόνο το μέτρο της
Η ροπή γίνεται πολύ πιο καθαρή όταν βλέπεις να αλλάζουν το σημείο εφαρμογής, ο άξονας και ο μοχλοβραχίονας.
Ροπή στον χώρο
Μεταβάλλοντας τη θέση εφαρμογής, τη διεύθυνση της δύναμης και τον άξονα αναφοράς μπορείς να παρατηρήσεις πώς αλλάζει το περιστροφικό αποτέλεσμα και να συνδέσεις τη ροπή με τον μοχλοβραχίονα.
Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗
Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.
Η φόρτωση γίνεται μέσα στη σελίδα και μπορείς πάντα να την ανοίξεις και σε νέα καρτέλα.
Εφαρμογή
Πότε μεγαλώνει και πότε μηδενίζεται η ροπή;
- Δοκίμασε μία αρχική διάταξη με συγκεκριμένη δύναμη και συγκεκριμένο σημείο εφαρμογής.
- Διπλασίασε μόνο τη δύναμη και έπειτα μόνο τον μοχλοβραχίονα.
- Στη συνέχεια κάνε τον φορέα της δύναμης να περνά από τον άξονα και παρατήρησε τι συμβαίνει.
Μπορεί μια μεγάλη δύναμη να έχει μηδενική ροπή;
Έλεγχος συμπεράσματος
Ναι. Η ροπή εξαρτάται από τ = Fd ή τ = rFημφ. Αν ο μοχλοβραχίονας είναι μηδενικός, δηλαδή αν ο φορέας της δύναμης περνά από τον άξονα, η ροπή μηδενίζεται όσο μεγάλη κι αν είναι η δύναμη.
Από τη ροπή στη γωνιακή επιτάχυνση
Παρατήρησε πώς η συνολική ροπή συνδέεται με τη μεταβολή της περιστροφικής κίνησης. Η δραστηριότητα χρησιμοποιείται ως προαιρετική προέκταση πέρα από τον άμεσο εξεταστέο πυρήνα.
Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗
Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.
Η φόρτωση γίνεται μέσα στη σελίδα και μπορείς πάντα να την ανοίξεις και σε νέα καρτέλα.
Εφαρμογή
Τι αλλάζει όταν αυξάνεται η συνολική ροπή;
- Κράτησε σταθερές τις υπόλοιπες παραμέτρους της κίνησης.
- Αύξησε σταδιακά τη συνολική ροπή που δρα στο σώμα.
- Περιέγραψε ποιοτικά πώς μεταβάλλεται η γωνιακή επιτάχυνση.
Γιατί η συγκεκριμένη εφαρμογή μπαίνει εδώ ως προαιρετική;
Έλεγχος συμπεράσματος
Επειδή φωτίζει πολύ καλά το φυσικό νόημα της ροπής, χωρίς όμως να αποτελεί μέρος της άμεσης εξεταστέας ανάπτυξης που ακολουθούμε στη σελίδα. Μεγαλύτερη συνολική ροπή οδηγεί σε μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση.
ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Ροπή δύναμης σε οριζόντια ράβδο
Ράβδος μήκους 1,2 m είναι αρθρωμένη στο αριστερό άκρο της. Στο δεξί άκρο ασκείται δύναμη 20 N κάθετη στη ράβδο. Να βρεθεί η ροπή της δύναμης ως προς την άρθρωση.
1
Σημείο αναφοράς: η άρθρωση. Η απόσταση του σημείου εφαρμογής από την άρθρωση είναι r=1,2 m.
2
Η δύναμη είναι κάθετη στη ράβδο, άρα φ=90° και d=r.
3
τ=F·d=20·1,2=24 N·m.
Άρα |τ| = 24 N·m. Η φορά προσδιορίζεται από την τάση περιστροφής που προκαλεί η F.
4.4 · ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ
Ισορροπία σημαίνει δύο συνθήκες
Μεταφορική
Στροφική
Τυπική διάταξη Πανελλαδικών: ράβδος – άρθρωση – νήμαPDF LOGIC
Στις λύσεις ξεκινάμε από το ελεύθερο διάγραμμα δυνάμεων και δηλώνουμε ρητά το σημείο ως προς το οποίο παίρνουμε ροπές.
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ
Ισορροπία, άρθρωση και σωστή επιλογή σημείου ροπών
Οι επόμενες εφαρμογές μπαίνουν εδώ, γιατί δείχνουν στην πράξη γιατί η ισορροπία του στερεού θέλει και δυνάμεις και ροπές.
Άρθρωση και δυνάμεις στήριξης
Παρατήρησε τις δυνάμεις που ασκούνται σε μια άρθρωση ή σύνδεση και χρησιμοποίησε την εικόνα για να καταλάβεις γιατί οι αντιδράσεις της άρθρωσης υπάρχουν, αλλά μπορούν να έχουν μηδενική ροπή ως προς την ίδια την άρθρωση.
Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗
Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.
Η φόρτωση γίνεται μέσα στη σελίδα και μπορείς πάντα να την ανοίξεις και σε νέα καρτέλα.
Εφαρμογή
Γιατί παίρνουμε συχνά ροπές ως προς την άρθρωση;
- Παρατήρησε ποιες άγνωστες δυνάμεις εμφανίζονται στην άρθρωση.
- Διάλεξε ως σημείο αναφοράς την ίδια την άρθρωση.
- Εξήγησε ποιες ροπές «φεύγουν» από την εξίσωση και γιατί.
Τι κερδίζεις στις εξισώσεις όταν επιλέγεις σωστά το σημείο υπολογισμού ροπών;
Έλεγχος συμπεράσματος
Οι αντιδράσεις της άρθρωσης παραμένουν υπαρκτές, αλλά όταν παίρνεις ροπές ως προς την άρθρωση οι φορείς τους περνούν από το σημείο αναφοράς. Άρα οι ροπές τους είναι μηδενικές και οι εξισώσεις απλοποιούνται.
ΛΥΜΕΝΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Γιατί παίρνουμε ροπές ως προς την άρθρωση;
Οριζόντια ομογενής ράβδος μήκους ℓ αρθρώνεται στο Α και συγκρατείται με νήμα στο άλλο άκρο. Το βάρος της εφαρμόζεται στο Κ.Μ. της.
1
Οι άγνωστες συνιστώσες της δύναμης της άρθρωσης περνούν από το Α.
2
Αν πάρουμε ροπές ως προς Α, η ροπή της δύναμης της άρθρωσης είναι μηδενική.
3
Έτσι στην εξίσωση ΣτΑ=0 μένουν μόνο οι ροπές του βάρους και της τάσης.
Η σωστή επιλογή σημείου αναφοράς μπορεί να εξαφανίσει άγνωστες δυνάμεις από την εξίσωση ροπών.
4.7 · ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ
Η στροφορμή χρειάζεται σημείο αναφοράς
Διανυσματικός ορισμός
Για υλικό σημείο, ως προς συγκεκριμένο σημείο Ο.
Μέτρο
Αν ο φορέας της ορμής περνά από Ο, τότε L=0.
Σημαντικό για 2027: η «Στροφορμή στερεού σώματος» της 4.7Β είναι εκτός εξεταστέας ύλης.
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ
Η στροφορμή χρειάζεται σημείο αναφοράς — και εικόνα
Στη στροφορμή οι λέξεις «άξονας», «φορά» και «σημείο αναφοράς» αποκτούν πολύ περισσότερο νόημα όταν τις βλέπεις να δουλεύουν σε κίνηση.
Στροφέας στον χώρο
Παρατήρησε έναν στροφέα στον χώρο και σύνδεσε τον άξονα περιστροφής με τη διεύθυνση και τη φορά της στροφορμής. Η δραστηριότητα χρησιμοποιείται ως προαιρετική οπτικοποίηση.
Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗
Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.
Η φόρτωση γίνεται μέσα στη σελίδα και μπορείς πάντα να την ανοίξεις και σε νέα καρτέλα.
Εφαρμογή
Προς τα πού «δείχνει» η στροφορμή;
- Παρατήρησε τον άξονα περιστροφής του σώματος.
- Άλλαξε τη φορά της περιστροφής.
- Πρόβλεψε πώς αλλάζει η διεύθυνση της στροφορμής.
Ποιον κανόνα χρησιμοποιείς για να βρεις τη φορά της στροφορμής;
Έλεγχος συμπεράσματος
Η στροφορμή έχει διεύθυνση πάνω στον άξονα περιστροφής και φορά που προκύπτει από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Η προσομοίωση μπαίνει εδώ ως καθαρά εποπτική, προαιρετική ενίσχυση.
Διατήρηση στροφορμής σε τρισδιάστατη διάταξη
Παρατήρησε μια τρισδιάστατη περιστροφική διάταξη και έλεγξε τη συνθήκη της συνολικής εξωτερικής ροπής πριν εξετάσεις αν η στροφορμή διατηρείται.
Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗
Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.
Η φόρτωση γίνεται μέσα στη σελίδα και μπορείς πάντα να την ανοίξεις και σε νέα καρτέλα.
Εφαρμογή
Πότε έχει νόημα να γράψω ΑΔΣ;
- Διάλεξε με σαφήνεια το σύστημα που θα μελετήσεις.
- Έλεγξε αν εμφανίζεται συνολική εξωτερική ροπή ως προς τον άξονα ή το σημείο που σε ενδιαφέρει.
- Μόνο τότε σύγκρινε πριν και μετά την κατάσταση της περιστροφής.
Γιατί το «κάτι περιστρέφεται» δεν είναι αρκετό για εφαρμογή της ΑΔΣ;
Έλεγχος συμπεράσματος
Επειδή η διατήρηση της στροφορμής δεν εφαρμόζεται απλώς και μόνο όταν υπάρχει περιστροφή. Προϋπόθεση είναι η συνολική εξωτερική ροπή στο επιλεγμένο σύστημα να είναι μηδενική.
Μαζεύω τη μάζα κοντά στον άξονα — τι συμβαίνει στο ω;
Μεταβάλλοντας την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα μπορείς να παρακολουθήσεις πώς αλλάζει η γωνιακή ταχύτητα όταν η συνολική εξωτερική ροπή είναι μηδενική.
Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗
Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.
Η φόρτωση γίνεται μέσα στη σελίδα και μπορείς πάντα να την ανοίξεις και σε νέα καρτέλα.
Εφαρμογή
Γιατί αυξάνεται το ω όταν η μάζα πλησιάζει τον άξονα;
- Ξεκίνα με «ανοιχτή» διάταξη και παρατήρησε τη γωνιακή ταχύτητα.
- Φέρε τη μάζα πιο κοντά στον άξονα και δες ξανά την κίνηση.
- Κατέγραψε ποιο μέγεθος μένει σταθερό και ποιο μεταβάλλεται.
Πώς ερμηνεύεται η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας;
Έλεγχος συμπεράσματος
Αν η συνολική εξωτερική ροπή είναι μηδενική, η στροφορμή L διατηρείται. Όταν η μάζα πλησιάζει τον άξονα, η κατανομή της γύρω από αυτόν μικραίνει και η γωνιακή ταχύτητα αυξάνεται ώστε να διατηρηθεί η L.
Γιο-γιο: μετάφραση, περιστροφή και ροπή
Παρατήρησε ένα γιο-γιο που συνδυάζει μεταφορική κίνηση, περιστροφή και ροπή. Εστίασε στη δύναμη του νήματος, στο σημείο εφαρμογής της και στο περιστροφικό αποτέλεσμα που προκαλεί.
Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗
Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.
Η φόρτωση γίνεται μέσα στη σελίδα και μπορείς πάντα να την ανοίξεις και σε νέα καρτέλα.
Εφαρμογή
Τι ακριβώς «κάνει» το νήμα;
- Παρατήρησε το σημείο στο οποίο ασκείται η τάση του νήματος.
- Συσχέτισε τη θέση εφαρμογής της τάσης με τη ροπή που προκαλεί.
- Εξήγησε γιατί το γιο-γιο δεν απλώς πέφτει, αλλά και περιστρέφεται.
Γιατί αυτή η εφαρμογή είναι χρήσιμη παρότι είναι προαιρετική;
Έλεγχος συμπεράσματος
Επειδή σε αναγκάζει να δεις στην πράξη ότι μια δύναμη που δεν ασκείται στο κέντρο μάζας προκαλεί και μεταφορική και στροφική κίνηση. Η τάση του νήματος δημιουργεί ροπή και γι’ αυτό το γιο-γιο περιστρέφεται καθώς μεταφέρεται.
4.8 · ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ
Πριν γράψεις ΑΔΣ, έλεγξε την εξωτερική ροπή
Συνθήκη
Συμπέρασμα
Ορίζω σύστημα
Ελέγχω εξωτερικές ροπές
Στεξ=0;
Ναι → ΑΔΣ
Συγκρίνω πριν/μετά
Κλειδί: η διατήρηση της στροφορμής δεν εφαρμόζεται επειδή «κάτι περιστρέφεται», αλλά επειδή η συνολική εξωτερική ροπή στο επιλεγμένο σύστημα είναι μηδενική.
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ
Εφάρμοσε τη διατήρηση της στροφορμής σε πλούσιες καταστάσεις
Αφού ξεκαθαρίσει η συνθήκη Στₑξ = 0, οι επόμενες προσομοιώσεις σε βοηθούν να τη χρησιμοποιήσεις σε κρούσεις, σε μεταβολές σχήματος και σε αστροφυσικές γέφυρες.
Κρούση και στροφορμή στον χώρο
Παρατήρησε ένα περιστροφικό σύστημα πριν και μετά από μια κρούση και έλεγξε αν πληρούται η συνθήκη που επιτρέπει την εφαρμογή της διατήρησης της στροφορμής.
Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗
Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.
Η φόρτωση γίνεται μέσα στη σελίδα και μπορείς πάντα να την ανοίξεις και σε νέα καρτέλα.
Εφαρμογή
Τι πρέπει να ελέγξω πριν εφαρμόσω ΑΔΣ στην κρούση;
- Διάλεξε σαφές σημείο αναφοράς ή άξονα.
- Παρατήρησε τη στροφορμή του συστήματος πριν και μετά την κρούση.
- Εξήγησε ποιες συνθήκες χρειάζονται για να παραμείνει ίδια.
Τι ρόλο παίζει το επιλεγμένο σημείο αναφοράς;
Έλεγχος συμπεράσματος
Η στροφορμή ορίζεται ως προς συγκεκριμένο σημείο ή άξονα. Η διατήρησή της σε κρούση ισχύει αν η συνολική εξωτερική ροπή ως προς αυτό το σημείο ή τον άξονα είναι μηδενική κατά τη διάρκεια της αλληλεπίδρασης.
Κρούση και διατήρηση της στροφορμής
Παρατήρησε πώς μια κρούση μεταβάλλει την κίνηση ενός σώματος και χρησιμοποίησε την επιλογή συστήματος και σημείου αναφοράς για να αποφασίσεις αν εφαρμόζεται η αρχή διατήρησης της στροφορμής.
Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗
Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.
Η φόρτωση γίνεται μέσα στη σελίδα και μπορείς πάντα να την ανοίξεις και σε νέα καρτέλα.
Εφαρμογή
Ποιο σύστημα θα διαλέξω;
- Καθόρισε ποια σώματα θα θεωρήσεις σύστημα.
- Έλεγξε ποιες εξωτερικές δυνάμεις ή ροπές δρουν στο σύστημα.
- Μόνο μετά γράψε ποιο μέγεθος διατηρείται και σε ποιο σημείο αναφοράς.
Γιατί η σωστή επιλογή συστήματος είναι καθοριστική;
Έλεγχος συμπεράσματος
Επειδή οι εξωτερικές ροπές εξαρτώνται από το ποια σώματα έχεις συμπεριλάβει στο σύστημα. Μόνο όταν το σύστημα επιλεγεί σωστά και η συνολική εξωτερική ροπή είναι μηδενική μπορείς να εφαρμόσεις διατήρηση της στροφορμής.
Όταν ο Ήλιος διαστέλλεται
Παρατήρησε πώς αλλάζει η περιστροφή ενός άστρου όταν μεταβάλλεται η ακτίνα και η κατανομή της μάζας του. Η δραστηριότητα συνδέει προαιρετικά τη διατήρηση της στροφορμής με ένα αστροφυσικό παράδειγμα.
Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗
Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.
Η φόρτωση γίνεται μέσα στη σελίδα και μπορείς πάντα να την ανοίξεις και σε νέα καρτέλα.
Εφαρμογή
Μεγαλώνει η ακτίνα — τι περιμένεις για το ω;
- Παρατήρησε την αρχική περιστροφή του άστρου.
- Αύξησε την ακτίνα του και δες ποιοτικά τι συμβαίνει στη γωνιακή ταχύτητα.
- Σύνδεσε την αλλαγή με τη διατήρηση της στροφορμής.
Γιατί ένα σώμα τείνει να περιστρέφεται πιο αργά όταν «απλώνει» η μάζα του;
Έλεγχος συμπεράσματος
Αν η εξωτερική ροπή είναι αμελητέα, η στροφορμή διατηρείται. Όταν η μάζα κατανέμεται πιο μακριά από τον άξονα, η γωνιακή ταχύτητα πρέπει να μειωθεί ώστε να διατηρηθεί η στροφορμή.
Κέπλερ και στροφορμή
Παρατήρησε την ταχύτητα ενός πλανήτη σε διαφορετικά σημεία της τροχιάς του και σύνδεσε τη μεταβολή της με τη διατήρηση της στροφορμής και τη σάρωση ίσων επιφανειών σε ίσους χρόνους.
Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗
Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.
Η φόρτωση γίνεται μέσα στη σελίδα και μπορείς πάντα να την ανοίξεις και σε νέα καρτέλα.
Εφαρμογή
Πού κινείται γρηγορότερα ο πλανήτης;
- Παρατήρησε την τροχιά και επίλεξε μια θέση κοντά και μια θέση μακριά από τον Ήλιο.
- Σύγκρινε ποιοτικά το μέτρο της ταχύτητας στις δύο θέσεις.
- Σύνδεσε την παρατήρηση με την ιδέα των ίσων επιφανειών σε ίσους χρόνους.
Πώς συνδέεται η προσομοίωση με τη διατήρηση της στροφορμής;
Έλεγχος συμπεράσματος
Κοντά στον Ήλιο ο πλανήτης κινείται ταχύτερα. Η διατήρηση της στροφορμής εξηγεί γιατί η ακτίνα διανύσματος σαρώνει ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους. Η προσομοίωση λειτουργεί εδώ ως προαιρετική, πολύ όμορφη προέκταση της ιδέας.
ΠΛΟΗΓΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ
Έξι βήματα πριν γράψεις εξίσωση
1
Απομόνωσε το στερεό ή το σύστημα που μελετάς.
2
Σχεδίασε όλες τις εξωτερικές δυνάμεις στα σωστά σημεία εφαρμογής.
3
Δήλωσε ρητά θετική φορά μεταφορικής κίνησης και θετική φορά ροπών.
4
Διάλεξε έξυπνα το σημείο υπολογισμού ροπών — συχνά άρθρωση ή σημείο όπου περνούν άγνωστες δυνάμεις.
5
Ξεχώρισε τη συνθήκη ΣF=0 από τη συνθήκη Στ=0.
6
Στη στροφορμή, δήλωσε πάντα «ως προς ποιο σημείο».
ΣΥΧΝΑ ΛΑΘΗ
Οι παγίδες που καλό θα ήταν να αποφεύγονται...
Στη σχέση τ=Fd χρειάζεται κάθετος μοχλοβραχίονας, όχι απλώς η απόσταση από τον άξονα.
Η ροπή και η στροφορμή δεν είναι πλήρως ορισμένες χωρίς σημείο/άξονα αναφοράς.
Όχι για στερεό. Πρέπει να ισχύει και Στ=0.
Λάθος. Απλώς η δύναμή της έχει μηδενική ροπή όταν παίρνουμε ροπές ως προς την άρθρωση.
Για τις Πανελλαδικές 2027 η 4.7Β είναι εκτός ύλης.
Πρώτα ελέγχω αν η συνολική εξωτερική ροπή είναι μηδενική.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗΣ
Από την κατανόηση στις Πανελλαδικές
Ξεκίνα από τις βασικές έννοιες και προχώρησε σταδιακά σε απαιτητικότερες εφαρμογές και θέματα επιπέδου Πανελλαδικών.
ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ01
Πότε η ροπή είναι μηδενική;
Δύναμη F ασκείται σε σημείο στερεού. Δώσε δύο διαφορετικούς τρόπους ώστε η ροπή της ως προς Ο να είναι μηδενική.
Hint
Σκέψου τη σχέση τ=rFημφ και τον μοχλοβραχίονα.
Λύση
Είτε r=0, δηλαδή το σημείο εφαρμογής συμπίπτει με Ο, είτε φ=0° ή 180°, δηλαδή ο φορέας της F περνά από Ο.
ΒΑΣΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ02
Ισορροπία ράβδου
Σε ράβδο μήκους 2 m ασκούνται δύο κάθετες δυνάμεις 8 N και 4 N σε αντίθετες πλευρές του Ο. Σε ποια απόσταση πρέπει να ασκείται η δύναμη 4 N για ΣτΟ=0, αν η δύναμη 8 N απέχει 0,5 m;
Hint
Εξίσωσε τα μέτρα των αντίθετων ροπών.
Λύση
8·0,5=4·x ⇒ x=1 m.
ΕΠΙΠΕΔΟ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ03
Ράβδος με άρθρωση και νήμα
Πριν γράψεις εξισώσεις, ποιο σημείο θα διάλεγες για υπολογισμό ροπών και γιατί;
Hint
Σκέψου ποιες άγνωστες δυνάμεις θέλεις να εξαφανίσεις.
Λύση
Την άρθρωση, επειδή οι άγνωστες αντιδράσεις της έχουν μηδενική ροπή ως προς αυτή.
ΠΡΟΚΛΗΣΗ04
Στροφορμή και σημείο αναφοράς
Το ίδιο υλικό σημείο κινείται με ίδια ορμή p. Μπορεί η στροφορμή του να είναι διαφορετική για δύο διαφορετικά σημεία αναφοράς;
Hint
Η L εξαρτάται από το διάνυσμα θέσης r.
Λύση
Ναι. Η στροφορμή ορίζεται ως προς συγκεκριμένο σημείο και L=r×p, άρα αλλάζοντας σημείο αναφοράς αλλάζει γενικά και η L.
ΜΙΚΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ
Απάντησε πριν ανοίξεις
Μια δύναμη έχει φορέα που περνά από το σημείο Ο. Ποια η ροπή της ως προς Ο;
Μηδενική, επειδή ο μοχλοβραχίονας είναι d=0.
Μπορεί να ισχύει ΣF=0 και το στερεό να αρχίσει να περιστρέφεται;
Ναι, αν Στ≠0. Ένα ζεύγος δυνάμεων είναι χαρακτηριστικό παράδειγμα.
Γιατί συμφέρει να παίρνουμε ροπές ως προς μια άρθρωση;
Οι άγνωστες δυνάμεις της άρθρωσης έχουν φορέα που περνά από το σημείο αναφοράς και άρα μηδενική ροπή ως προς αυτό.
Ποιο είναι το πρώτο πράγμα που ελέγχω πριν εφαρμόσω διατήρηση στροφορμής;
Αν η συνολική εξωτερική ροπή στο σύστημα είναι μηδενική.
Η ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΙΔΕΑ
Στο στερεό δεν μετρά μόνο η δύναμη. Μετρά και πού ασκείται.
Όταν το σχήμα είναι σωστό, οι ροπές, η ισορροπία και η στροφορμή παύουν να μοιάζουν με διαφορετικά κεφάλαια και γίνονται μία ενιαία λογική.
Συνέχισε με περισσότερα θέματα και ασκήσεις
Για επιπλέον εξάσκηση μπορείς να αξιοποιήσεις την επίσημη Τράπεζα Θεμάτων και το Study4Exams.
Τράπεζα Θεμάτων
Επίλεξε την επίσημη Τράπεζα Θεμάτων του ΙΕΠ ή το trapeza-thematon.gr.
Study4Exams
Βρες επιπλέον ερωτήσεις, φύλλα εργασίας και επαναληπτική εξάσκηση.
Μετάβαση στο Study4Exams ↗