Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ · ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 · 16 ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΩΡΕΣ

Ταλαντώσεις
δες τη Φυσική να κινείται.

Όχι αποστήθιση τύπων. Μετακίνησε το σώμα, παρακολούθησε x, υ, α, F και ενέργεια και σύνδεσε κάθε θέση με τη φυσική της σημασία.

ΑΑΤΕΝΕΡΓΕΙΑΦΘΙΝΟΥΣΕΣΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ

Πέτρος ΑμοιρίδηςMSc Φυσικός – Εκπαιδευτικός

Μια ταλάντωση δεν είναι απλώς ένα σώμα που πηγαίνει «μπρος–πίσω». Είναι μια οργανωμένη μεταβολή θέσης, ταχύτητας, επιτάχυνσης, δύναμης και ενέργειας στον χρόνο.

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΙΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΗΜΗ ΥΛΗ

Τι καλύπτει αυτή η σελίδα;

Η σελίδα ακολουθεί την επίσημη εξεταστέα ύλη Πανελλαδικών 2027.

1.2 Περιοδικά φαινόμενα.
1.3 Απλή αρμονική ταλάντωση.
1.5 Φθίνουσες ταλαντώσεις, εκτός από τις ηλεκτρικές ταλαντώσεις.
1.6 Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις· από την 1.6β μόνο οι εφαρμογές του συντονισμού στις μηχανικές ταλαντώσεις.
Στις εξισώσεις κίνησης δεν χρησιμοποιούνται ερωτήσεις, ασκήσεις ή προβλήματα με αρχική φάση διαφορετική από 0 και π/2.

Σημαντικό για το 2027: η σύνθεση ταλαντώσεων δεν περιλαμβάνεται στην εξεταστέα ύλη, γι’ αυτό δεν προστίθεται εδώ ως βασικό αντικείμενο μελέτης.

1.2 · ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

Πότε ένα φαινόμενο είναι περιοδικό;

Περίοδος

Ο ελάχιστος χρόνος μετά τον οποίο το φαινόμενο επαναλαμβάνεται με τον ίδιο τρόπο.

Συχνότητα

Ο αριθμός των πλήρων επαναλήψεων ανά μονάδα χρόνου.

Γωνιακή συχνότητα

Συνδέει τον χρόνο με τη φάση της ταλάντωσης και μετριέται σε rad/s.

Περίοδος – συχνότητα

f = \frac{1}{T}

Όσο μικρότερη η περίοδος, τόσο μεγαλύτερη η συχνότητα.

Γωνιακή συχνότητα

ω = 2 π f = \frac{2 π}{T}

Σε μία περίοδο η φάση αυξάνεται κατά 2π rad.

1.3 · ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

Η δύναμη «δείχνει» πάντα προς τη Θ.Ι.

Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση όταν η συνισταμένη δύναμη είναι ανάλογη της απομάκρυνσης και αντίθετης φοράς.

Απομάκρυνση

x = A ημ (ω t + φ_{0})

|x|≤A. Το A είναι η μέγιστη απομάκρυνση.

Ταχύτητα

υ = ω A συν (ω t + φ_{0})

Μέγιστο μέτρο στη Θ.Ι., μηδέν στα άκρα.

Επιτάχυνση

α = - ω^{2} x

Πάντα αντίθετη από την απομάκρυνση.

Δύναμη επαναφοράς

F = - D x

Η Θ.Ι. είναι το σημείο όπου F=0.

Χωρίς χρόνο

υ^{2} = ω^{2} (A^{2} - x^{2})

Ιδανική όταν γνωρίζουμε θέση και ζητείται μέτρο ταχύτητας.

Σχέση D και ω

D = m ω^{2}

Προκύπτει από F=mα και F=−Dx.

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Μία περίοδος μπροστά στα μάτια σου

ΑΑΤ σε πραγματικό χρόνο

Η θετική φορά είναι προς τα δεξιά. Η επιτάχυνση ξεκινά από το κέντρο του σώματος, ενώ η ταχύτητα σχεδιάζεται έξω από αυτό.

INTERACTIVE

Φάση μιας περιόδου0°

x0 A

υ1 ωA

α0 ω²A

F0 DA

Μετατροπή ενέργειαςE = σταθερή

Κινητική K

100%

Δυναμική U

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΑΑΤ και γραφικές παραστάσεις x–t, υ–t, α–t

Μεταβάλλοντας το πλάτος, την περίοδο και την αρχική φάση μπορείς να παρακολουθήσεις ταυτόχρονα την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση ως συναρτήσεις του χρόνου και να συνδέσεις τα διαγράμματα με τις χαρακτηριστικές θέσεις της ΑΑΤ.

Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗

Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.

Η προσομοίωση θα ανοίξει μέσα στη σελίδα.

Άνοιγμα σε νέα καρτέλα ↗

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Τέσσερις χρονικές στιγμές — τρία διαγράμματα

Θέσε αρχική φάση φ₀=0, πλάτος A=0,20 m και περίοδο T=2 s.
Εμφάνισε τα διαγράμματα x–t, υ–t και α–t.
Παρατήρησε τις χρονικές στιγμές t=0, T/4, T/2 και 3T/4 και κατέγραψε για καθεμία το πρόσημο των x, υ και α.
Έλεγξε σε ποιες θέσεις μηδενίζεται η ταχύτητα και σε ποιες μηδενίζεται η επιτάχυνση.

Κρίσιμη ερώτηση: Πώς φαίνεται στα διαγράμματα ότι η επιτάχυνση είναι πάντοτε αντίθετη από την απομάκρυνση;

Έλεγχος συμπεράσματος

Όταν x>0, η επιτάχυνση είναι αρνητική, και όταν x<0 είναι θετική. Στη θέση ισορροπίας x=0 έχουμε α=0, ενώ στα άκρα |x|=A το μέτρο της επιτάχυνσης είναι μέγιστο. Η ταχύτητα μηδενίζεται στα άκρα και έχει μέγιστο μέτρο στη Θ.Ι.

Στις δραστηριότητες της σελίδας χρησιμοποιούμε μόνο τις αρχικές φάσεις που επιτρέπονται από την επίσημη ύλη 2027.

ΧΑΡΤΗΣ ΜΙΑΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ

Οι θέσεις που πρέπει να «βλέπεις» αμέσως

x=+Aυ=0α=−αmaxF=−FmaxK=0 · U=E

x=+A/2|υ|=ωA√3/2α=−ω²A/2U=E/4K=3E/4

x=0 · Θ.Ι.|υ|=υmaxα=0F=0K=E · U=0

x=−A/2|υ|=ωA√3/2α=+ω²A/2U=E/4K=3E/4

x=−Aυ=0α=+αmaxF=+FmaxK=0 · U=E

ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΗΝ ΑΑΤ

Η ενέργεια δεν χάνεται — αλλάζει μορφή

Ολική ενέργεια

E = \frac{1}{2} D A^{2}

Σταθερή σε ιδανική ΑΑΤ.

Δυναμική ενέργεια

U = \frac{1}{2} D x^{2}

Εξαρτάται μόνο από το |x|.

Κινητική ενέργεια

K = E - U

Μέγιστη στη Θ.Ι., μηδέν στα άκρα.

Σε συνάρτηση με x

K = \frac{1}{2} D (A^{2} - x^{2})

Συνδέει θέση και κινητική ενέργεια χωρίς χρόνο.

ΣΩΜΑ – ΕΛΑΤΗΡΙΟ

Από τη σταθερά του ελατηρίου στην περίοδο

Για σώμα μάζας m δεμένο σε ιδανικό ελατήριο σταθεράς k, γύρω από τη θέση ισορροπίας ισχύει D=k και:

Γωνιακή συχνότητα

ω = \sqrt{\frac{k}{m}}

Μεγαλύτερο k → γρηγορότερη ταλάντωση.

Περίοδος

T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}

Μεγαλύτερη μάζα → μεγαλύτερη περίοδος.

Κατακόρυφο ελατήριο: η θέση ισορροπίας έχει μετατοπιστεί λόγω βάρους. Η απομάκρυνση x της ΑΑΤ μετριέται από τη Θ.Ι., όχι από τη Θ.Φ.Μ.

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

Κατακόρυφο ελατήριο: η Θ.Ι. δεν είναι η Θ.Φ.Μ.

Στην κατακόρυφη διάταξη το βάρος μετατοπίζει τη θέση ισορροπίας. Παρατήρησε το σώμα, τη δύναμη του ελατηρίου και τη σχέση τους με την απομάκρυνση, ώστε να ξεχωρίσεις την παραμόρφωση του ελατηρίου από την απομάκρυνση της ταλάντωσης.

Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗

Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.

Η προσομοίωση θα ανοίξει μέσα στη σελίδα.

Άνοιγμα σε νέα καρτέλα ↗

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Βρες τη θέση όπου Fελ = mg

Εντόπισε πρώτα τη θέση ισορροπίας και πάγωσε την κίνηση εκεί.
Παρατήρησε την τιμή της δύναμης του ελατηρίου στη Θ.Ι. και σύγκρινέ την με το βάρος.
Μετακίνησε το σώμα πάνω και κάτω από τη Θ.Ι. και παρατήρησε πώς αλλάζει η Fελ.
Ξεχώρισε στις σημειώσεις σου δύο διαφορετικά μεγέθη: την επιμήκυνση Δℓ του ελατηρίου και την απομάκρυνση x από τη Θ.Ι.

Κρίσιμη ερώτηση: Γιατί στη θέση ισορροπίας η δύναμη του ελατηρίου δεν είναι μηδενική, ενώ η συνισταμένη δύναμη είναι μηδενική;

Έλεγχος συμπεράσματος

Στη Θ.Ι. το ελατήριο είναι ήδη παραμορφωμένο από το βάρος, οπότε Fελ=mg και οι δύο δυνάμεις αλληλοαναιρούνται. Η απομάκρυνση x μετριέται από τη Θ.Ι., όχι από τη θέση φυσικού μήκους. Γι’ αυτό στη Θ.Ι. ισχύει x=0, αλλά γενικά Δℓ≠0.

1.5 · ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Το πλάτος μειώνεται με τον χρόνο

Σε πραγματικά συστήματα οι δυνάμεις αντίστασης αφαιρούν μηχανική ενέργεια. Το πλάτος μειώνεται με τον χρόνο και ο ρυθμός μείωσης εξαρτάται από την απόσβεση.

Μικρή απόσβεση

Το πλάτος μειώνεται αργά και το σώμα προλαβαίνει να εκτελέσει πολλές ταλαντώσεις.

Μεγαλύτερη απόσβεση

Το πλάτος και η μηχανική ενέργεια μειώνονται πιο γρήγορα.

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

Φθίνουσα ταλάντωση: η επίδραση της απόσβεσης

Μεταβάλλοντας τη σταθερά απόσβεσης, τη μάζα και την ιδιοσυχνότητα μπορείς να παρακολουθήσεις την εξέλιξη του πλάτους και της μηχανικής ενέργειας και να δεις πώς η ταλάντωση εξασθενεί με τον χρόνο.

Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗

Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.

Η προσομοίωση θα ανοίξει μέσα στη σελίδα.

Άνοιγμα σε νέα καρτέλα ↗

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Ίδιο σύστημα — δύο διαφορετικές αποσβέσεις

Κράτησε ίδια μάζα, ίδια ιδιοσυχνότητα και ίδια αρχική απομάκρυνση.
Διάλεξε πρώτα μικρή τιμή της b και παρατήρησε πόσο αργά μειώνεται το πλάτος.
Επανεκκίνησε με μεγαλύτερη b και σύγκρινε το πλάτος μετά από ίδιο χρονικό διάστημα.
Εμφάνισε, αν χρειάζεται, την περιβάλλουσα και το διάγραμμα Eμηχ–t και σύνδεσε τη μείωση του πλάτους με τη μείωση της μηχανικής ενέργειας.

Κρίσιμη ερώτηση: Τι αλλάζει σίγουρα όταν αυξάνεται η απόσβεση: το πλάτος, η ενέργεια ή και τα δύο;

Έλεγχος συμπεράσματος

Αυξάνοντας την απόσβεση, το πλάτος μειώνεται γρηγορότερα και μαζί του μειώνεται γρηγορότερα και η μηχανική ενέργεια. Για μικρές αποσβέσεις η περίοδος μεταβάλλεται λίγο, αλλά η κύρια εικόνα που πρέπει να κρατήσεις είναι η σταδιακή απώλεια πλάτους και ενέργειας.

1.6 · ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Όταν ένα εξωτερικό αίτιο «οδηγεί» την ταλάντωση

Εξαναγκασμένη ταλάντωση

Το σύστημα δέχεται περιοδική εξωτερική δύναμη και μετά το μεταβατικό στάδιο ταλαντώνεται με τη συχνότητα του διεγέρτη.

Συντονισμός

Όταν η συχνότητα του διεγέρτη πλησιάζει την ιδιοσυχνότητα του συστήματος, το πλάτος γίνεται μέγιστο.

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

Εξαναγκασμένη ταλάντωση και μηχανικός συντονισμός

Μεταβάλλοντας τη συχνότητα του διεγέρτη και την ιδιοσυχνότητα του συστήματος μπορείς να παρακολουθήσεις την απομάκρυνση, το πλάτος, την ταχύτητα και τη δύναμη διέγερσης και να εντοπίσεις τις συνθήκες συντονισμού.

Εξωτερική διαδραστική προσομοίωσηseilias.gr ↗

Άνοιξε την προσομοίωση όταν είσαι έτοιμος/η να ξεκινήσεις τη διερεύνηση.

Η προσομοίωση θα ανοίξει μέσα στη σελίδα.

Άνοιγμα σε νέα καρτέλα ↗

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Βρες μόνος/η σου τη συχνότητα συντονισμού

Κράτησε σταθερή την ιδιοσυχνότητα του συστήματος.
Δοκίμασε διαδοχικά συχνότητα διεγέρτη μικρότερη, περίπου ίση και μεγαλύτερη από την ιδιοσυχνότητα.
Σε κάθε περίπτωση παρατήρησε το πλάτος αφού σταθεροποιηθεί η κίνηση.
Μετακίνησε αργά τη συχνότητα του διεγέρτη και εντόπισε την περιοχή όπου το πλάτος γίνεται μέγιστο.

Κρίσιμη ερώτηση: Ποια συχνότητα ακολουθεί τελικά η εξαναγκασμένη ταλάντωση και πότε εμφανίζεται συντονισμός;

Έλεγχος συμπεράσματος

Στη μόνιμη κατάσταση το σώμα ταλαντώνεται με τη συχνότητα του διεγέρτη. Συντονισμός εμφανίζεται όταν η συχνότητα διέγερσης γίνει ίση ή πολύ κοντά στην ιδιοσυχνότητα του συστήματος, οπότε το πλάτος παίρνει τη μέγιστη τιμή του.

Στην επίσημη ύλη 2027: από την §1.6β κρατάμε μόνο τις εφαρμογές του συντονισμού στις μηχανικές ταλαντώσεις.

ΠΛΟΗΓΟΣ ΑΣΚΗΣΗΣ

Τι μου δίνει; Από πού ξεκινάω;

Μου δίνει θέση x

Σκέψου υ²=ω²(A²−x²), U=½Dx² και F=−Dx.

Μου δίνει δύναμη F ή επιτάχυνση α

Μετέτρεψέ τα πρώτα σε απομάκρυνση x.

Μου δίνει ενέργεια

Χρησιμοποίησε E=K+U και σύνδεσέ την με x ή υ.

Μου δίνει χρονική στιγμή

Βρες φάση, τεταρτημόριο και φορά πριν επιλέξεις πρόσημο.

Μου δίνει περίοδο ή συχνότητα

Βρες πρώτα ω=2π/T=2πf. Είναι ο «μεταφραστής» προς τις εξισώσεις.

Μου δίνει ελατήριο

Έλεγξε αν x μετριέται από Θ.Ι. και χρησιμοποίησε ω=√(k/m).

ΣΥΧΝΑ ΛΑΘΗ

Έξι παγίδες που κοστίζουν βαθμούς

1 · x ≠ διαδρομή

Η απομάκρυνση μετριέται από τη Θ.Ι. και έχει πρόσημο.

2 · υmax στα άκρα;

Όχι. Στα άκρα υ=0. Η |υ| είναι μέγιστη στη Θ.Ι.

3 · α και x ίδια φορά;

Πάντα αντίθετη: α=−ω²x.

4 · U μηδέν στη Θ.Φ.Μ.;

Στην ΑΑΤ του κατακόρυφου ελατηρίου το x ορίζεται από τη Θ.Ι.

5 · Το πρόσημο του υ

Η θέση δεν αρκεί. Χρειάζεται και η φορά κίνησης.

6 · Συντονισμός

Συντονισμός δεν σημαίνει «μεγάλη συχνότητα», αλλά f≈f₀.

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Από τη φυσική εικόνα στην εξίσωση

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 · ΘΕΣΗ → ΤΑΧΥΤΗΤΑ

Α=0,20 m, T=2 s. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας στο x=0,12 m;

ω=2π/T=π rad/s.

Δεν χρειάζεται χρόνος: υ²=ω²(A²−x²).

|υ|=π√(0,20²−0,12²)=0,16π m/s ≈0,50 m/s.

Προσοχή: η σχέση δίνει το μέτρο. Το πρόσημο της υ απαιτεί πληροφορία για τη φορά.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 · ΕΝΕΡΓΕΙΑ → ΘΕΣΗ

Σε ποια |x| η κινητική ενέργεια είναι τριπλάσια της δυναμικής;

K=3U και E=K+U ⇒ E=4U.

U/E=x²/A²=1/4.

|x|=A/2. Υπάρχουν δύο συμμετρικές θέσεις: x=+A/2 και x=−A/2.

ΜΙΚΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Άνοιξε την απάντηση μόνο αφού αποφασίσεις

Στο x=+A ποια είναι η φορά της επιτάχυνσης;

Προς την αρνητική φορά, δηλαδή προς τη Θ.Ι.

Στη Θ.Ι. είναι μηδενική η ταχύτητα;

Όχι. Στη Θ.Ι. το μέτρο της ταχύτητας είναι μέγιστο.

Αν x=A/2, τι ποσοστό της E είναι δυναμική ενέργεια;

U/E=x²/A²=1/4, άρα 25%.

Σε φθίνουσα ταλάντωση παραμένει σταθερό το πλάτος;

Όχι. Το πλάτος μειώνεται λόγω απωλειών μηχανικής ενέργειας.

Πότε έχουμε μηχανικό συντονισμό;

Όταν η συχνότητα του διεγέρτη είναι ίση ή πολύ κοντά στην ιδιοσυχνότητα του συστήματος.

Η ΑΑΤ ΣΕ ΜΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ

Η θέση λέει πού είσαι. Η φορά λέει πού πηγαίνεις.

Αν ξεχωρίζεις Θ.Ι., άκρα, πρόσημα και μετατροπές ενέργειας, οι περισσότεροι τύποι παύουν να είναι «λίστα» και γίνονται συνέπειες μιας ενιαίας φυσικής εικόνας.

Εξωτερικές πηγές εξάσκησης

Συνέχισε με περισσότερα θέματα και ασκήσεις

Για επιπλέον εξάσκηση μπορείς να αξιοποιήσεις την επίσημη Τράπεζα Θεμάτων και το Study4Exams.

ΕΠΙΣΗΜΗ ΠΗΓΗ

Τράπεζα Θεμάτων

Επίλεξε την επίσημη Τράπεζα Θεμάτων του ΙΕΠ ή το trapeza-thematon.gr.

Επίσημη Τράπεζα ΙΕΠ ↗ trapeza-thematon.gr ↗

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΗ ΕΞΑΣΚΗΣΗ

Study4Exams

Βρες επιπλέον ερωτήσεις, φύλλα εργασίας και επαναληπτική εξάσκηση.

Μετάβαση στο Study4Exams ↗